Rachunek rozniczkowy funkcji dwoch zmiennych, Matematyka

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rachunek różniczkowy funkcji
dwóch zmiennych
Pojęcie funkcji dwóch zmiennych
Odwzorowanie
f
, przyporządkowujące każdemu punktowi
 
yx

,
R

A
2
dokładnie jedną
liczbę rzeczywistą
 
xf
, , nazywamy funkcją rzeczywistą dwóch zmiennych. Zbiór
A
y
nazywamy dziedziną funkcji
f
.
Jeżeli funkcja zadana jest tylko przy pomocy wzoru (bez podania dziedziny), to
dziedziną
naturalną
f
R
, dla których wzór ma sens (
 
D
funkcji jest zbiór tych punktów
2
xf
,
R
 ).
y
Przykład 1
Wyznaczyć dziedzinę naturalną funkcji:
 
f
x
4,
y
y


x
2

2
.
Rozwiązanie:
Dziedziną naturalną funkcji jest zbiór tych par
 
x
, , dla których wyrażenie pod
y
pierwiastkiem jest nieujemne, czyli dla których
4
2

yx
.
2

0
Przepisując tę nierówność w postaci

yx
2
2

4
otrzymujemy


4
 
D
f

y
x
,
y
R
2
:
x
2

2

.
Dziedziną naturalną funkcji jest zatem wnętrze koła o promieniu 2 i środku w punkcie (0,0).
Pochodne cząstkowe funkcji dwóch zmiennych
xf
, będzie określona w otoczeniu punktu

 

Niech funkcja
y
yx

0
, .
Pochodną
D
0
f
cząstkową pierwszego rzędu funkcji f względem
x
w


0
,
yx
definiujemy wzorem
0

 

f
x

h
,
y

f
x
,
y

f


x
,
y

lim
.
0
0
0
0
0
0

x
h
h

0
Analogicznie określamy
pochodną cząstkową pierwszego rzędu względem y
:

 


f
f
x
,
y

h

f
x
,
y


x
,
y

lim
.
0
0
0
0
0
0

y
h
h

0
Stosujemy też nazwy –
pierwsze pochodne cząstkowe po
x
i
y
i oznaczenia:
x
f
.
'
,
y
'
Przykład 2
Obliczyć obie pochodne cząstkowe funkcji
 
xf

,
xy
y
2
w punkcie
 
1,2 .
Rozwiązanie:

  



f
f
2

h
1,

f
1,2
2

h

1
2

2

1
2
h
 
1,2

lim

lim

lim

1
,

x
h
h
h
h

0
h

0
h

0

  


2

f
f
1,2

h

f
1,2
2

1

h

2

1
2
 
1,2

lim

lim


y
h
h
h

0
h

0
2

4
h

2
h
2

2


.4

lim

lim
4

2
h

h
h

0
h

0
[ Pobierz całość w formacie PDF ]

  • zanotowane.pl
  • doc.pisz.pl
  • pdf.pisz.pl
  • tejsza.htw.pl

    •